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逻辑代数的化简算法

发布时间:2020-07-21 18:24:27 阅读: 来源:安检门厂家

逻辑代数的化简算法

观察函数

1.该函数有四个逻辑变量,可表示成

Y=f(A、B、C、D)

2.该函数有三个乘积项:第一项有四个因子——四个变量在乘积项中都出现了。第二项有三个因子——缺少变量B(或)。第三项缺少变量C、D(或、)。

3.第一个乘积项是A、B、C、D的一个最小项,其余二项均不是A、B、C、D的最小项。

最小项:n个逻辑变量A1、A2、…… An组成的逻辑系统中含n个因子的乘积项——每个变量(或)在乘积项中只出现一次,称这样的乘积项为最小项。

两个逻辑变量A、B有22=4个最小项,分别是:、、、。

三个逻辑变量A、B、C有23=8个最小项,分别是:、、、、、、、。

四个逻辑变量A、B、C、D有24=16个最小项。

练习:写出A、B、C、D的十六个最小项。

最小项的性质:

(1)对变量的任意一组取值,只有一个最小项为1,其余最小项全为0。二变量A、B的最小项为:、、、。对A、B的任意一组取值:

A=0 B=0 =1 其余三项全为0,即===0

A=0 B=1 = 1 其余三项全为0

A=1 B=0 = 1 其余三项全为0

A=1 B=1 = 1 其余三项全为0

(2)全体最小项之和为1。(读者自己证明)

(3)任意两个最小项的乘积为0。

最小项的编号:

三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1,又与十进制数0,1……7的二进制数表示相同。用0~7编号八个最小项,记为:m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7,则m7=m111=,……m4=m100=,m0=m000=。

练习:读者试写出四变量A、B、C、D的十六个最小项m0、m1……m15。

逻辑函数的最小项之和形式

任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式

例:将下列函数化为最小项之和的形式

反函数的最小项之和表示

例:求二变量A,B的逻辑函数的反函数。

解一:

解二:列真值表

由真值表写出的逻辑表达式

(全体最小项之和)

如三变量A,B,C的逻辑函数则必有

结论:在n个变量的逻辑系统中,如果Y为i个最小项之和,则必为余下的(n-i)个最小项之和。

异或运算与同或运算

定义: 称A与B异或,为异或运算符

A与B同或,为同或运算符

显然:

异或与同或互为反函数

由此推得:

即两者相等为0,不相等为1

同或运算则与之相反,且有

同学自己证明并牢记。

例1. 将下列函数化为最简与或式。

例2. A,B的波形如下图所示,试画出的波形。

最小项的相邻性

任何两个最小项如果他们只有一个因子不同,其余因子都相同,则称这两个最小项为相邻最小项。

显然,m0与m1具有相邻性,而与不相邻,因为他们有两个因子不相同。m3与m4也不相邻,而m3与m2相邻。

相邻的两个最小项之和可以合并成一项,并消去一个变量。如:

卡诺图

卡诺图是美国工程师卡诺(Karnaugh)发明的。用小方块(格)来表示最小项。三变量的卡诺图画八个小方块(格)来表示八个最小项,四变量的卡诺图画十六个小方块来表示十六个最小项。……

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